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100から200までの整数中の特定の倍数の個数を求める

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問題

100 から 200 までの整数のうち、5 または 8 の倍数となる整数の個数を求めなさい。

 

 

つまずきポイント 

今回の問題は、集合の要素の個数の問題です。

100から200までの整数中の特定の倍数の個数を求めます。

 

集合には、覚えなければいけない用語や記号が多くあります。

似たような記号も多くあるのでしっかりと区別させましょう。

 

今回の問題のポイント

＜◯の倍数の個数＞

例）　5 の倍数の数字は、

　5 \times 1, 5 \times 2, \dots, 5 \times k

と表されるので、5 の倍数の個数は、k 個となる。

 

解説

求めたいことを記号で表す
「 5 または 8 の倍数となる整数の個数」を言い換えていくと、
「 5 の倍数または 8 の倍数となる整数の個数」となる。


ここで、

・ 5 の倍数となる整数の集合を A
・ 8 の倍数となる整数の集合を B
 とする。

 

「 A \cup B となる整数の個数」は、n(A \cup B)
と表せる。

 

ベン図から n(A \cup B) を求める公式を導く。

f:id:smohisano:20210520222525p:plain

n(A \cup B)を求めるために、n(A) と n(B) を単純に足してしまうと、

図 1 の 斜線部分を余計に（ 2 回）足してしまう。

 

なので、

n(A \cap B) （斜線部分）を引かなければならない。

よって、

 n(A \cup B)＝n(A)+n(B) -n(A \cap B)

 

それぞれの個数を求める

① n(A) を求める

5\times20 , 5\times21 ,  \ldots , 5\times40
よって、40-20+1=21

したがって、n(A)=2

 

② n(B) を求める
8\times13 , 8\times14 , \ldots , 8\times25
よって、25-13+1=13

したがって、n(B)=13

 

③ n(A \cap B) を求める
5 の倍数かつ 8 の倍数は、40 の倍数なので、
40\times3 , 40\times4 , \ldots , 40\times5
よって、5-3+1=3

したがって、n(A \cap B)=3


公式に当てはめる

n(A \cup B) ＝ n(A)+n(B)-n(A \cap B) より、
n(A \cup B) ＝ 21+13-3 = 31

 

おわりに 

100から200までの整数中の特定の倍数の個数を求めるためには、

＜◯の倍数の個数＞

例）　5 の倍数の数字は、

　5 \times 1, 5 \times 2, \dots, 5 \times k

と表されるので、5 の倍数の個数は、k 個となる。

この公式を用います。

 

今回の問題が難しく感じた人は、

記号や用語を覚えきれていない可能性があります。

今一度、教科書や参考書で確認してみてください。

 

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