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途中式を飛ばさない数学ブログ

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YutoHisano
高校数学を途中式を飛ばさずに解説します。それと、ちょっとした休憩時間に読める数学の面白い小話も載せていきます。

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場合分けは機械的に！？場合分けのある二次関数の最大・最小

数学Ⅰ 数学Ⅰ-二次関数数学Ⅰ-二次関数-最大・最小

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問題

$a$ は正の定数とし、 $2$ 次関数 $f \big(x\big)=x^{2}-2ax+2a$ $(0\leqq x\leqq2)$ の最小値を $m\big(a\big)$ とする。この時、 $m\big(a\big)$ の最大値とその時の $a$ の値を求めよ。

問題
つまずきポイント
解説
おわりに
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つまずきポイント

今回は、場合分けのある二次関数の最大・最小の問題です。

関数の最大・最小問題は、とにかく丁寧にグラフを描きましょう。

グラフの描き方が不安という方はこちら

smohisano.hatenablog.jp

平方完成が不安という方はこちら

smohisano.hatenablog.jp

解説

$f \big(x\big)=x^{2}-2ax+2a$ （ $\ast$ 平方完成をする）
$= (x-a)^{2}-a^{2}+2a$
頂点 $(a,-a^{2}+2a)$

場合分けをする
　[1]　 $0＜ a \leq 2$ の時（頂点の $x$ 座標が定義域内にある）
　　 $x=a$ で最小値　 $-a^{2}+2a$

f:id:smohisano:20210810142728p:plain

$\ast$ 頂点が定まってないので、軸は描く必要ない。

　[2]　 $a＞2$ の時（頂点の $x$ 座標が右外にある）
　　 $x=2$ で最小値　 $-2a+4$

f:id:smohisano:20210810142757p:plain

場合分けが苦手な方範囲が設けられている 2 次関数の最小値問題は、
頂点が範囲の左外、内、右外それぞれに位置する時の場合を考えてみよう。

$\ast$ 今回の問題は、 $a$ が正の定数なので左外の場合は考えなくても良い。

$m\big(a\big)$ のグラフを描く

[1], [2]より、　

$m\big(a\big)=$ $\begin{cases} -a^{2}+2a \,(0＜a \leqq2)\\ -2a+4\, (a＞2)\end{cases}$

※ 横軸が $a$ になることに注意

$m\big(a\big)=-(a-1)^{2}+1$

よって、頂点 $(1, 1)$

以上のことより、

f:id:smohisano:20210522180148p:plain

$m\big(a\big)= -a^{2}+2a$ $(0＜a \leqq2)$

$m\big(a\big)= -2a+4$ $(a＞2)$

グラフより $a=1$ の時、最大値 $1$

おわりに

今回は、場合分けのある二次関数の最大・最小でした。

もっと詳しく教えてほしいという方は、

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