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文字がたくさんあってややこしい！サイコロを５回投げる時の反復試行の確率問題

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はじめに

今回は、サイコロを５回投げる時の反復試行の確率問題です。

 

反復試行は、同じ試行が繰り返される時に使う考え方です。

反復試行か否かは、問題を見れば容易に判断つくかと思います。

 

反復試行の確率

反復試行の公式

1 回の試行で事象 A が起こる確率を p とする。この試行を n 回繰り返すとき、

事象 A がちょうど r 回起こる確率は、 

　　　　　{}_n C_r  p^{r}(1-p)^{n-r}

 

{}_nC_r はなぜ必要か？

例）コインを５回振るとき、４回表が出る確率を求めよ。

表が出る確率は、\dfrac{1}{2}

裏が出る確率は、\dfrac{1}{2}

 

よって、{}_5C_4\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^4\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^1

ここで、{}_5C_4 が必要な理由を考える。

５回振る時とき、４回表が出るパターンを並べてみる。

表,　表,　表,　表,　裏

表,　表,　表,　裏,　表

表,　表,　裏,　表,　表

表,　裏,　表,　表,　表

裏,　表,　表,　表,　表

このように表と裏の並び方は複数あるが、

これらすべて表が４回、裏が１回であることには変わりない。

したがって、表が４回、裏が１回の合計５回の並び替え {}_5C_4 を掛け算する必要がある。

 

 

サイコロの確率問題

今回は、反復試行の問題の中でもサイコロを使用した問題です。

サイコロを使った確率問題は非常に多く出題されるので、サイコロの問題で覚えておくと良いポイントをまとめておきます。

 

①　1 の目から 6 の目まである。

②　どの目も同様に確からしい。

\Rightarrow どの目も出る確率は均一に\displaystyle\frac{1}{6} となる。

③　2 回振ると 36 パターン、3 回振ると 216 パターン、4 回振ると 1296 パターン

 

すべて当たり前のようですが、③はサイコロの問題がきたらすぐに思いつくようにしましょう。

サイコロを３回振るときは、たった 216 パターンです。上手な方法が思いつかなかったら、すべて並べてあげれば問題を解くことができます。

 

 

問題

1 つのサイコロを 5 回投げる時、次の確率を求めなさい。

(1)　素数の目がちょうど 4 回出る確率を求めなさい。 

(2)　素数の目が 4 回以上出る確率を求めなさい。  

 

解説

(1)

公式の文字 1 つ 1 つを確認する。

　 {}_n C_r p^{r}(1-p)^{n-r} より

　　n=5

　　r=4

　　pについて

　　　素数の目は2, 3, 5 より 

　　　素数の目が出る確率は、\displaystyle\frac{3}{6}=\frac{1}{2} となる。

　　　最後に公式に当てはめる。


(2)

問題文の意味を理解する

　「素数の目が 4 回以上出る」を言い換えると、

　「素数の目が 4 回または 5 回出る」となる。

　　4 回出る確率は (1) で求めたので、5 回出る確率を求める。

 
　「または」と来たら 2 つの確率の足し算

「 4 回出る」または「 5 回出る」より、

　　4 回出る確率と5 回出る確率の和となる。

 

実際の答案

(1)　{}_5 C_4\displaystyle\left(\frac{1}{2}\right)^{4}\left(1-\left(\frac{1}{2}\right)\right)^{5-4}

　　=5\cdot\displaystyle\left(\frac{1}{16}\right)\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{1}

　　=5･\displaystyle\frac{1}{32} = \displaystyle\frac{5}{32}

 

(2)　5 回出る確率を求める。

　\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{5} = \displaystyle\frac{1}{32}

 よって、

　\displaystyle\frac{5}{32}+\frac{1}{32} =\displaystyle\frac{6}{32} =\displaystyle\frac{3}{16}

 

おわりに

今回は、サイコロを５回投げる時の反復試行の確率問題でした。

 

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