Math Kit

途中式を飛ばさない数学ブログ

トップ > 数学Ⅰ > 形は違えどやり方はこれまでと同じ？文字が２つ入った関数の最小値

形は違えどやり方はこれまでと同じ？文字が２つ入った関数の最小値

数学Ⅰ 数学Ⅰ-二次関数 数学Ⅰ-二次関数-最大・最小
にほんブログ村 受験ブログ 受験勉強法へ ←こちらもチェック！
読者になる

問題

x+2y=3 の時、2x^{2}+y^{2} の最小値を求めよ。

 

 

つまずきポイント

今回の問題は、文字が２つ入った関数の最小値の問題です。

文字（変数）が 2 つあると、どうすればいいのかわからなくなりそうですが、

たった一つの操作をしてあげると、

文字が 1 つになり比較的簡単に解くことができます。

 

今回の問題のポイント

文字を一つ消去し、変数を一つにする。
x＋2y=3
 　　x=3-2y \cdots \ast

\ast を 2x^2+y^2 に代入する。

 

この操作により、2x^2+y^2 は y だけの式にすることができます。

 

解説

x＋2y=3
 　　x=3-2y \cdots \ast

\ast を代入すると、

2x^{2}+y^{2} = 2(3-2y)^{2}+y^{2}

　　= 2(9-12y+4y^{2})+y^{2}

　　= 9y^{2}-24y+18


9y^{2}-24y-18
= 9\left(y^{2}-\displaystyle\frac{8}{3}y\right)+18
= 9\left(y-\displaystyle\frac{4}{3}\right)^{2}-16+18
= 9\left(y-\displaystyle\frac{4}{3}\right)^{2}+2


よって、
y = \displaystyle\frac{4}{3}の時、最小値 2

y=\displaystyle\frac{4}{3} を \ast に代入すると、

x+2･\displaystyle\frac{4}{3} = 3

x = 3-\displaystyle\frac{8}{3} 

= \displaystyle\frac{1}{3}

 

したがって、
x = \displaystyle\frac{1}{3}、y = \displaystyle\frac{4}{3}の時、最小値 2 

 

 

おわりに 

この問題が難しく感じた人は、↓こちらを復習すると良いです。

smohisano.hatenablog.jp

この問題は、文字（変数）が１つのシンプルな問題になっています。 

 

もっと詳しく教えてほしいという方は、

下記の相談フォームからご連絡ください。

いつでもお待ちしております。

 

お問い合わせフォーム

https://forms.gle/2RVgwcMPcL5YxWbV7 

 

Math Kit

sites.google.com

数学を学ぶためのキットが揃っています。

「途中式を飛ばさない」数学学習サイトとなっています。

ぜひ、学習に役立たせてください。