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途中式を飛ばさない数学ブログ

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YutoHisano
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解けるだけだともったいない！判別式の仕組みを解説

数学Ⅰ 数学Ⅰ-二次関数

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はじめに
判別式を使用するタイミング
- 例題①
- 例題②
判別式の解説
- 例題①
- 例題②
おわりに
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はじめに

本日は、判別式の仕組みについて解説します。

ただ問題が解けるだけでなく、

仕組みを理解した上で問題が解けるようになりましょう

判別式を使用するタイミング

判別式とは、

$2$ 次方程式の解の個数を判別するための式です。

$2$ 次方程式の解の個数は、

$0$ 個,　 $1$ 個,　 $2$ 個のどれかになります。

以下の例題のように判別式を用いずに個数を求めることは出来ます。

例題①

$x^{2}+3x+2=0$ の解の個数を求めなさい。

解答） $(x+2)(x+1)=0$

　　　 $x=-1,-2$

よって、 $2$ 個となる。

このように、因数分解すれば簡単に求められます。

しかし、次の例題はどうでしょう？

例題②

$x^2+ax+1$ が解を持たない時の $a$ の値の範囲を求めよ。

このような問題の時は、例題①のようにはいきません。

こういった問題の時に判別式を用いると簡単に求められます。

判別式の解説

判別式

$2$ 次方程式　 $ax^{2}+bx+c=0$ の判別式を $D$ とすると、

$D=b^{2}-4ac＞0$ $\Longrightarrow$ 実数解は $2$ コ

$D=b^{2}-4ac=0$ $\Longrightarrow$ 実数解は $1$ コ

$D=b^{2}-4ac＜0$ $\Longrightarrow$ 実数解は $0$ コ

この公式の解説をしていきます。

解説）

判別式は、二次方程式の解の公式から導かれます。

解の公式

$ax^{2}+bx+c=0$ の解は、

$x=\displaystyle\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac} }{2a}$

根号の中 $(b^{2}-4ac)$ に注目する。

① $b^{2}-4ac＞0$ のとき

$x=\displaystyle\frac{-b + \sqrt{b^{2}-4ac} }{2a}$ ,　 $\displaystyle\frac{-b - \sqrt{b^{2}-4ac} }{2a}$

となり解は $2$ コとなる。

② $b^{2}-4ac=0$ のとき

$x=\displaystyle\frac{-b}{2a}$

となり解は $1$ コとなる。

③ $b^{2}-4ac＜0$ のとき

根号の中が負となる解は存在しない。

例） $\sqrt{-3}$

　　→ $2$ 乗して $-3$ となるような数字は存在しない。

よって解は $0$ コ

例題①

$x^{2}+3x+2=0$ の解の個数を求めなさい。

$D=b^{2}-4ac=9-8=1＞0$

$D＞0$ となるので、解は 2 コとわかる。

例題②

$x^2+ax+1$ が解を持たない時の $a$ の値の範囲を求めよ。

解を持たない（解が $0$ 個）より、判別式は $D$ ＜ $0$ となる。

$D=a^2-4$

　 $=(a+2)(a-2)$ ＜ $0$

　 $-2＜a＜2$

おわりに

今回は、判別式の仕組みについて解説しました。

仕組みを覚えておくと、

応用問題にも対応できるし複雑な公式でも暗記しやすくなると思います。

しっかりと仕組みを理解しましょう。

もっと詳しく教えてほしいという方は、

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