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途中式を飛ばさない数学ブログ

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YutoHisano
高校数学を途中式を飛ばさずに解説します。それと、ちょっとした休憩時間に読める数学の面白い小話も載せていきます。

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確率は日本語で丁寧に分解！袋の中から赤玉と青玉を取り出す確率

数学A 数学A-確率

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はじめに

今回は、袋の中から赤玉と青玉を取り出す確率の問題です。

確率といえば、

袋から玉を取り出したり、くじを引いたり、さいころを転がしたりしますね。

このように、さまざまな事象に当てはめて考える必要があるのが確率の難しいところです…

しかし、どんな事象であれ確率の原理・原則は同じです。

確率の基本

事象 $A$ の確率 $P(A)$ は、

$P(A)=\dfrac{求めたいもののパターン}{すべてのパターン}$

例）サイコロを１回振るとき、１の目が出る確率を求めなさい。

１の目が出る：事象 $A$

よって、 $P(A)$ を求める。

求めたいもののパターン：（１の目が出るパターン） $=1$

全てのパターン：（サイコロを振るときのパターン） $6$

$P(A)=\dfrac{求めたいもののパターン}{すべてのパターン}$ より

　　 $=\dfrac{1}{6}$

はじめに
- 確率の基本
問題
解説
実際の答案
おわりに
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問題

袋 $A$ には赤玉 $3$ 個と青玉 $2$ 個、袋 $B$ には赤玉 $7$ 個と青玉 $3$ 個が入っている。
袋 $A$ から $1$ 個、袋 $B$ から $2$ 個取り出す。
このとき、取り出す玉の色が全て同じである確率を求めよ。

　　 f:id:smohisano:20210901171718p:plain

解説

場合分けを考える。

「取り出す玉の色が全て同じである確率を求めよ。」

を言い換えると、

$(1)$ 　取り出す玉の色が全て赤色

f:id:smohisano:20210901171743p:plain

$(2)$ 　取り出した玉の色が全て青色

f:id:smohisano:20210901171800p:plain

$(1)$ 「取り出す玉の色が全て赤色の確率」について

袋 $A$ から取り出す玉が全て赤玉の確率と袋 $B$ から取り出す玉が全て赤玉の確率の積が
「袋 $A$ 、袋 $B$ から取り出す玉の色が全て赤色の確率」となります。

　 $(ⅰ)$ 　 $A$ 袋 $\cdots$ $3$ 個が赤玉、 $2$ 個が青玉の全部で $5$ 個、玉が入っている袋から赤玉を $1$ 個取り出す確率

　 $(ⅱ)$ 　 $B$ 袋 $\cdots$ $7$ 個が赤玉、 $3$ 個が青玉の全部で $5$ 個、玉が入っている袋から赤玉を $2$ 個取り出す確率

$(ⅰ)$ , $(ⅱ)$ より、
$A$ の袋、 $B$ の袋から取り出す玉の色が全て赤色の確率は

　　 $(1)で求めたい確率=(i)の確率\times (ii)の確率$

$(2)$ 「取り出す玉の色が全て青色の確率」について

袋 $A$ から取り出す玉が全て青玉の確率と袋 $B$ から取り出す玉が全て青玉の確率の積が
「 $A$ の袋、 $B$ の袋から取り出す玉の色が全て青色の確率」となります。

　 $(ⅰ)$ 　 $A$ 袋 $\cdots$ $3$ 個が赤玉、 $2$ 個が青玉の全部で $5$ 個、玉が入っている袋から青玉を $1$ 個取り出す確率

　 $(ⅱ)$ 　 $B$ 袋 $\cdots$ $7$ 個が赤玉、 $3$ 個が青玉の全部で $5$ 個、玉が入っている袋から青玉を $2$ 個取り出す確率は

$(ⅰ)$ , $(ⅱ)$ より、
$A$ の袋、 $B$ の袋から取り出す玉の色が全て青色の確率は

　　 $(2)で求めたい確率=(i)の確率\times (ii)の確率$

場合分けして求めた $(1)$ ,　 $(2)$ より、取り出す玉の色が全て同じである確率は

$(1)+(2)$

の計算により求める。

実際の答案

$(1)$ 　袋 $A$ と袋 $B$ それぞれの袋から赤玉を取り出す確率を求める

　 $(ⅰ)$ 　赤玉を $1$ 個取り出す確率は

　　 $\displaystyle\frac{{}_3 C_1}{{}_5 C_1}=\frac{3}{5}$

　 $(ⅱ)$ 　赤玉を $2$ 個取り出す確率は

　　 $\displaystyle\frac{{}_7 C_2}{{}_10 C_2}=\frac{7･6}{10･9}=\frac{7}{15}$

$(ⅰ)$ , $(ⅱ)$ より、

　 $\displaystyle\frac{3}{5}\times\frac{7}{15}=\frac{7}{25}$

$(2)$ 　袋 $A$ と袋 $B$ それぞれの袋から青玉を取り出す確率を求める

　 $(ⅰ)$ 　青玉を $1$ 個取り出す確率は

　　 $\displaystyle\frac{{}_2 C_1}{{}_5 C_1}=\frac{2}{5}$

　 $(ⅱ)$ 　青玉を $2$ 個取り出す確率は

　　 $\displaystyle\frac{{}_3 C_2}{{}_10 C_2}=\frac{3･2}{10･9}=\frac{1}{15}$

$(ⅰ)$ , $(ⅱ)$ より、
$A$ の袋、 $B$ の袋から取り出す玉の色が全て青色の確率は

　 $\displaystyle\frac{2}{5}\times\frac{1}{15}=\frac{2}{75}$

$(1)$ ,　 $(2)$ より、取り出す玉の色が全て同じである確率は

$\displaystyle\frac{7}{25}+\frac{2}{75}=\frac{23}{75}$

おわりに

今回は、袋の中から赤玉と青玉を取り出す確率の問題でした。

確率の問題は、苦手とする人が非常に多いです。

しっかりと、日本語で整理しながら進める必要がある単元となっています。

記事の問題に対して質問がある方はいつでもご連絡ください。

また、オンラインで家庭教師も可能です。

詳しくは下記の問い合わせフォームからご連絡ください。

いつでもお待ちしております。

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