問いの文章を言い換えるのが肝！実数解を持つとは？

方程式 $x^{2}-2ax+a^{2}+a-5 = 0$ が実数解を持つとき、 $a$ の範囲を求めよ。

今回は、「実数解を持つ」を言い換える問題です。

今回の問題のポイントは、

「実数解を持つ」を言い換えることと判別式を使って計算できることです。

判別式の仕組みはこちらです。

「実数解をもつ」という言葉について整理する。
「実数解をもつ」
$\Longleftrightarrow$ 「実数解を 1 コもつ」または「実数解を 2 コもつ」
と言い換えて整理すると、

「実数解を 1 コもつ」 $\Rightarrow$ 判別式 $D=0$
「実数解を 2 コもつ」 $\Rightarrow$ 判別式 $D＞0$

判別式 $D$ を計算しよう
$D = 4a^{2}-4(a^{2}+a-5)$
　 $=-4a+20$
よって、
　 $-4a+20=0$ または $-4a+20＞0$

となるので、計算すると
　 $a=5$ または $a＜0$

したがって、 $a\leqq5$

（別解）

判別式 $D$ を計算しよう
$D = 4a^{2}-4(a^{2}+a-5)$
　 $=-4a+20\leqq 0$
　　　　　　 $a\leqq5$

$\ast$ このようにまとめて計算をしても問題ありません。

今回は、「実数解を持つ」を言い換える問題でした。

「実数解を持つとき」を言い換えられるとそんなに難しいとは感じなかったんじゃないでしょうか？

このように、問題文の文章を言い換えることによって、次のステップに進めることがよくあるので、慣れていきましょう。

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