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YutoHisano
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似てるけど全然違う！恒等式と方程式の違いを解説

数学Ⅱ 数学Ⅱ-式と証明

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はじめに

今回は、恒等式の問題です。

恒等式を理解する上で重要になってくるのが、

恒等式と方程式の違いを理解することです。

どちらも形は似ていますが、明確な違いがあります。

ここから、

・恒等式とは？

・方程式と恒等式の違い

・恒等式を解くときのポイント

について説明していきます！

恒等式とは？

恒等式

含まれている文字にどのような値を代入しても、その等式の両辺の値が存在する限り常に成り立つ等式のこと。

例えば、

$2x=4$ は $x=2$ のときにのみ成り立ちますね。

対して、

$x^2+3x+2=(x+1)(x+2)$ はどんな $x$ を代入しても成り立ちますね。

以上のことを踏まえた上で、方程式と恒等式の違いを見ていきましょう！

方程式と恒等式の違い

方程式

例） $2x+4=8$ を解きなさい。

　言い換えると、この等式を満たす $x$ を求めなさい。

　この方程式は、 $x=2$ の時にのみ成り立ちます。

恒等式

例） $2x+4=ax+4$ が恒等式の時、 $a$ の値を求めなさい。

　言い換えると、どんな数を $x$ に代入しても成り立つ時、 $a$ の値を求めなさい。

よって、 $a=2$ であることがわかりますね。

恒等式を解き時のポイント

両辺を同じ形にする。

$\rightarrow$ 右辺を通分し、左辺に合わせる。

例） $(2-a)x+4=4$ が恒等式のとき、 $a$ の値を求める。

このままだと、解くことはできません。

$2x-ax+4=4$

$2x+4=ax+4$

このように式を変形させると、 $a$ の値を求めることができます。

はじめに
問題
答案の例
解説
おわりに
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問題

次の等式が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a$ ,　 $b$ ,　 $c$ の値を求めよ。

$\displaystyle\frac{-2x^{2}+6}{(x+1)(x-1)^{2}}=\frac{a}{x+1}-\frac{b}{x-1}+\frac{c}{(x-1)^{2}}$

答案の例

（右辺） $=\dfrac{a}{x+1}-\dfrac{b}{x-1}+\dfrac{c}{(x-1)^{2}}$

　　　 $=\dfrac{a(x-1)^{2}-b(x+1)(x-1)+c(x+1)}{(x+1)(x-1)^{2}}$

　　　 $=\dfrac{ax^{2}-2ax+a-bx^{2}+b+cx+c}{(x+1)(x-1)^{2}}$

　　　 $=\dfrac{(a-b)x^{2}+(-2a+c)x+a+b+c}{(x+1)(x-1)^{2}}$

よって、

　 $-2x^{2}+6=(a-b)x^{2}+(-2a+c)x+a+b+c$

$\begin{cases} -2 = a-b \cdots① \\0 = -2a+c \cdots② \\ 6=a+b+c \cdots③\end{cases}$

$①$ より　

　 $b=a+2$ 　 $\cdots①'$

$①'$ を $③$ に代入

　 $6=a+a+2+c$

　　 $4=2a+c$ 　 $\cdots④$

$②,④$ について

$\begin{cases} -2a+c = 0 \cdots② \\2a+c = 4 \cdots④ \end{cases}$

$②−④$ より

　 $-4a=-4$

　　 $a=1$

$②$ に代入すると

　 $c=2$

$③$ に代入すると

　 $6=1+b+2$

　 $b=3$

よって、 $(a,b,c)=(1,3,2)$

解説

左辺と右辺の形を合わせる

（右辺） $=\dfrac{a}{x+1}-\dfrac{b}{x-1}+\dfrac{c}{(x-1)^{2}}$

　　　 $=\dfrac{a(x-1)^{2}-b(x+1)(x-1)+c(x+1)}{(x+1)(x-1)^{2}}$

　　　 $=\dfrac{ax^{2}-2ax+a-bx^{2}+b+cx+c}{(x+1)(x-1)^{2}}$

　　　 $=\dfrac{(a-b)x^{2}+(-2a+c)x+a+b+c}{(x+1)(x-1)^{2}}$

両辺の分子を比べる

分母は両辺同じなので、各辺の分子を比べる。

$-2x^{2}+6=(a-b)x^{2}+(-2a+c)x+a+b+c$

よって、

$\begin{cases} -2 = a-b \cdots① \\0 = -2a+c \cdots② \\ 6=a+b+c \cdots③\end{cases}$

連立方程式を解こう

$①$ より　

　 $b=a+2$ 　 $\cdots①'$

$①'$ を $③$ に代入

　 $6=a+a+2+c$

　　 $4=2a+c$ 　 $\cdots④$

$②,④$ について

$\begin{cases} -2a+c = 0 \cdots② \\2a+c = 4 \cdots④ \end{cases}$

$②−④$ より

　 $-4a=-4$

　　 $a=1$

$②$ に代入すると

　 $c=2$

$③$ に代入すると

　 $6=1+b+2$

　 $b=3$

よって、 $(a,b,c)=(1,3,2)$

おわりに

今回は、恒等式の問題でした。

恒等式と方程式の違いをしっかりと理解しておきましょう！

記事の問題に対して質問がある方はいつでもご連絡ください。

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