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途中式を飛ばさない数学ブログ

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YutoHisano
高校数学を途中式を飛ばさずに解説します。それと、ちょっとした休憩時間に読める数学の面白い小話も載せていきます。

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【軌跡と方程式】放物線の弦の中点の軌跡

数学Ⅱ 数学Ⅱ-図形と方程式

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【問題】　

放物線 $C:y=x^{2}$ と直線 $l:y=m(x-1)$ は異なる $2$ 点 $A,B$ で交わっている。

( 1 )　定数の $m$ の値の範囲を求めよ。

( 2 )　 $m$ の値が変化するとき、線分 $AB$ の中点の軌跡を求めよ。

つまずきポイント
解説
おわりに

つまずきポイント

軌跡の問題の解法に当てはめる必要がある。

詳しくはこちらをチェック

smohisano.hatenablog.jp

解説

( 1 )　放物線と直線は、異なる $2$ 点で交わるので、

方程式 $x^{2}=m(x-1)$ の判別式 $D$ において、 $D$ ＞ $0$ となる。

$x^{2}=m(x-1)$

$x^{2}-mx+m=0$

判別式を計算すると、

$D=(-m)^{2}-4m$ ＞ $0$

$D=m^{2}-4m$ ＞ $0$

$D=m(m-4)$ ＞ $0$

$m$ ＜ $0$ , $4$ ＜ $m$

( 2 )　中点を $P(X,Y)$ とおく。

$x^2=m(x-1)$

$x^2-mx+m=0$

この二次方程式の解を $\alpha$ , $\beta$ とおくと、

$\alpha + \beta=m$

よって、中点の $x$ 座標 $X$ は、

$X=\displaystyle\frac{\alpha + \beta}{2}=\frac{m}{2}$

となる。

中点は $y=m(x-1)$ を通るので、

$Y=m(X-1)$

$Y=mX-m$

$Y=m \times \displaystyle\frac{m}{2}-m$

$X=\displaystyle\frac{m}{2}$

$m=2X$ $\dots$ $\ast$ より

$Y=m \times \displaystyle\frac{m}{2}-m=2X \times \displaystyle\frac{2X}{2}-2X$

　　 $=2X^2-2X$

また、

( 1 ) の結果と $\ast$ の結果を踏まえると、

$2X$ ＜ $0$ , $4$ ＜ $2X$

$X$ ＜ $0$ , $2$ ＜ $X$

したがって、

$y=2x^2-2x$ の $(x$ ＜ $0$ , $2$ ＜ $x)$ の部分

おわりに

もっと詳しく教えてほしいという方は、

下記の相談フォームからご連絡ください。

いつでもお待ちしております。

お問い合わせフォーム

https://forms.gle/2RVgwcMPcL5YxWbV7