Math Kit

途中式を飛ばさない数学ブログ

Profile

YutoHisano
高校数学を途中式を飛ばさずに解説します。それと、ちょっとした休憩時間に読める数学の面白い小話も載せていきます。

＼ Follow me ／

【不等式の領域】x + y の最大値・最小値を求める

数学Ⅱ 数学Ⅱ-図形と方程式

←こちらもチェック！

読者になる

本日の問題

【問題】

$x,y$ が $2$ つの不等式 $x^{2}+y^{2} \leqq 10$ , $y \geqq -2x+5$ を満たすとき、 $x+y$ の最大値および最小値を求めよ。

本日の問題
つまずきポイント
- 今回の問題のポイント
解説
おわりに

つまずきポイント

$2$ 次関数の最小値なら、放物線を描いて、一番低いところを…

とイメージがつきますが、

$x+y$ の最大・最小と言われてもピンとこないですね。

今回の問題のポイント

$x+y=k$ と置き、

$y=-x+k$ と式変更すると、

「不等式の領域を満たすとき $x+y$ の最大値・最小値を求めよ。」を

「不等式の領域を満たすとき $y=-x+k$ の切片 $k$ の最大値・最小値を求めよ。」

と言い換えることができる。

解説

$x^{2}+y^{2} \leqq 10$ $\cdots$ ①

f:id:smohisano:20210726172450p:plain

$y \geqq -2x+5$ $\cdots$ ②

f:id:smohisano:20210726133200p:plain

よって、①と②の共通部分は、

f:id:smohisano:20210726133309p:plain

この領域の中で、 $x+y$ の最小値・最大値を求める。

$x+y=k$ とおく

$y=-x+k$ と変形すると、

「 $x+y$ の最小値・最大値を求めよ。」を言い換えると、

「 $y=-x+k$ の切片 $k$ の最小値・最大値を求めよ。」となる。

この領域内に含まれるように、直線 $y=-x+k$ を動かす。

切片 $k$ が最小値になる部分を探す。

f:id:smohisano:20210726133737p:plain

直線 ①〜③ の中で切片が最小値になるのは、③となる。

直線 $y=-2x+5$ と円 $x^2+y^2=10$ の交点について、

$x^2+(-2x+5)^2=10$

$5x^2-20x+15=0$

$x^2-4x+3=0$

$(x-3)(x-1)=0$

$x=3$ , $x=1$

よって、

$x=3$ のとき $y=-1$

$x=1$ のとき $y=3$

となる。

したがって、

直線 ③ の通る点は、 $x=3$ , $y=-1$ なので、

$x+y=k$ に代入して、 $k=3+(-1)=2$ が最小値

同様にして、

直線 ①〜③ の中で切片が最小値になるのは、①となる。

直線① の通る点は、 $x=1$ , $y=3$ なので、

$x+y=k$ に代入して、 $k=1+3=4$ が最大値

改めてまとめると、

$x=3$ , $y=-1$ の時、最小値 $2$

$x=1$ , $y=3$ の時、最大値 $4$

おわりに

計算も解法も難しい問題でした。

重要なのは、 $x+y=k$ のように、 $k$ と置いてしまう。という点です。

もっと詳しく教えてほしいという方は、

下記の相談フォームからご連絡ください。

いつでもお待ちしております。

お問い合わせフォーム

https://forms.gle/2RVgwcMPcL5YxWbV7