Math Kit

途中式を飛ばさない数学ブログ

トップ > 数学Ⅱ > 三角比の公式を使って証明する！サインコサインを含んだ等式の証明

三角比の公式を使って証明する！サインコサインを含んだ等式の証明

数学Ⅱ 数学Ⅱ-式と証明
にほんブログ村 受験ブログ 受験勉強法へ ←こちらもチェック！
読者になる

はじめに

今回は、サインコサインを含んだ等式の証明問題です。

 

等式の証明だけでも難しいのに、サインコサインも含まれていては、なにから手をつければわからなくなりますね…

 

サインコサインの処理をしつつ、等式の証明の型にはめる必要があります。

①　サインコサインの処理の方法

②　等式の証明の型

この２つについてまとめていきます！

 

サインコサインの処理に必要な公式

三角比の相互関係

\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1　\cdots①

\displaystyle\frac{\sin\theta}{\cos\theta}=\tan\theta　\cdots②

\tan^{2}\theta+1=\displaystyle\frac{1}{\cos^{2}\theta}　\cdots③

 

等式の証明のポイント 

等式の証明パターン

A=Bの証明について

公式①　A か B の一方を変形して証明する ← 今回使用するパターン

公式②　両辺 A,B をそれぞれ変形して証明する

公式③　右辺を 0 にして、A-B=0であることを証明する

 

公式①　一方を変更して証明するときのポイント

左辺を変形して、右辺に合わせる。

 

右辺左辺どちらを式変形するか迷ったら、

「複雑」な方を「単純」な方に合わせる。ことを意識しよう。

 

詳しくは、こちらをチェック！

www.smohisano.com

 

 

問題

以下の等式を証明せよ。

\displaystyle\frac{\cos \theta}{1+\sin \theta}+\tan \theta=\frac{1}{\cos \theta}

 

答案の例

（左辺） =\dfrac{\cos \theta}{1+\sin \theta}+\tan \theta

　　　　\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} より

　　　=\dfrac{\cos\theta}{1+\sin\theta}+\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}

　　　=\dfrac{\cos^2\theta}{\cos\theta(1+\sin\theta)}+\dfrac{\sin\theta(1+\sin\theta)}{\cos\theta(1+\sin\theta)}　

　　　=\dfrac{\cos^{2}\theta +\sin\theta(1+\sin\theta)}{\cos\theta(1+\sin\theta)}

　　　=\dfrac{\cos^{2}\theta +\sin\theta+\sin^2\theta}{\cos\theta(1+\sin\theta)}

　　　　\sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1 より

　　　=\dfrac{1 +\sin\theta}{\cos\theta(1+\sin\theta)}

　　　=\dfrac{1}{\cos\theta} = （右辺）

 

解説

左辺、右辺を見ると、より複雑な式は左辺だとわかる。

よって、左辺を変形させていく。

（左辺） =\dfrac{\cos\theta}{1+\sin\theta}+\tan\theta

　　　　　\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} より

　　　=\dfrac{\cos\theta}{1+\sin\theta}+\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}

　　　=\dfrac{\cos^2\theta}{\cos\theta(1+\sin\theta)}+\dfrac{\sin\theta(1+\sin\theta)}{\cos\theta(1+\sin\theta)}　

　　　=\dfrac{\cos^{2}\theta +\sin\theta(1+\sin\theta)}{\cos\theta(1+\sin \theta)}

　　　=\dfrac{\cos^{2}\theta +\sin\theta+\sin^2\theta}{\cos\theta(1+\sin\theta)}

　　　　　　\sin^2\theta+\cos^2 \theta=1 より

　　　=\dfrac{1 +\sin\theta}{\cos\theta(1+\sin\theta)}　

　　　　　1+\sin\theta で約分

　　　=\dfrac{1}{cos \theta} 

　　　　= （右辺）

このように、三角比の相互関係を駆使しながら式変形し、一方の式を一方の式に合わせていく。

 

おわりに

今回は、サインコサインを含んだ等式の証明問題でした。

 

記事の問題に対して質問がある方はいつでもご連絡ください。

また、オンラインで家庭教師も可能です。

詳しくは下記の問い合わせフォームからご連絡ください。

いつでもお待ちしております。 

 

お問い合わせフォーム

https://forms.gle/2RVgwcMPcL5YxWbV7

 

Math Kit

sites.google.com

数学を学ぶためのキットが揃っています。

「途中式を飛ばさない」数学学習サイトとなっています。

ぜひ、学習に役立たせてください。