【積分法】途中式を一切飛ばさない積分

本日の問題

【問題】

曲線 $y=x^{3}-2x^{2}-x+2$ と $x$ 軸に囲まれた図形の面積 $S$ を求めよ。

本日の問題
つまずきポイント
- 今回の問題のポイント
解説
おわりに

つまずきポイント

今回の問題は、積分を用いて面積を求める問題です。

定期テスト、大学入試でかなりの頻出問題となっています。

難しいポイントは、グラフを描く必要がある点ではないでしょうか？

グラフを正しく描くことができるか否かで、立式のしやすさが大きく異なります。

いつも以上に丁寧目にグラフを描きましょう。

今回の問題のポイント

区間 $a \leqq x\leqq b$ で常に $f(x) \geqq g(x)$ とする。

$2$ つの曲線 $y=f(x)$ , $y=g(x)$ , および $2$ 直線 $x=a$ , $x=b$ で囲まれた図形の面積 $S$ は、

$S=\displaystyle\int_a^b \{f(x)-g(x) \} dx$

f:id:smohisano:20210730133044p:plain

解説

$x$ 軸との交点を求める。

$x^3-2x^2-x+2=0$

$y=f(x)$ とおくと、

$f(1)=0$ となるので、

f:id:smohisano:20210730133110p:plain

組み立て除法より、

$(x-1)(x^2-x-2)$

$=(x-1)(x+1)(x-2)$

$x=-1$ , $1$ , $2$

このことを踏まえると、

$y=x^3-2x^2-x+2$ のグラフの概形は、

f:id:smohisano:20210730135228p:plain

$\ast$ グラフと $x$ 軸の囲まれた部分がわかればいいので、ざっくりとしたグラフで良い。

ここで、

曲線 $y=x^{3}-2x^{2}-x+2$ と $x$ 軸に囲まれた図形の面積を求めるために少しだけ言い方を変える。

$x$ 軸は、つまり $y=0$ なので、

曲線 $y=x^{3}-2x^{2}-x+2$ と $y=0$ に囲まれた図形の面積 $S$ を求める。

と言い換えることができる。

そのことを踏まえつつ、立式すると、

$\ast$ グラフの色とリンクしてます。

$S=$ $\displaystyle\int_{-1}^1 \left\{(x^{3}-2x^{2}-x+2)-0\right\}dx$ $+$ $\displaystyle\int_{1}^2 \left\{0-(x^{3}-2x^{2}-x+2) \right\}dx$

$=$ $\displaystyle\int_{-1}^1 \left(x^{3}-2x^{2}-x+2\right)dx$ $+$ $\displaystyle\int_{1}^2 \left(-x^{3}+2x^{2}+x-2\right)dx$

$=$ $\left[\dfrac{1}{4}x^4-\dfrac{2}{3}x^3-\dfrac{1}{2}x^2+2x \right]_{-1}^1$ $+$ $\left[-\dfrac{1}{4}x^4+\dfrac{2}{3}x^3+\dfrac{1}{2}x^2-2x \right]_{1}^2$

赤色部分を計算する

$=\left[\dfrac{1}{4}x^4-\dfrac{2}{3}x^3-\dfrac{1}{2}x^2+2x \right]_{-1}^1$

$=\left(\dfrac{1}{4}\times 1^4-\dfrac{2}{3}\times 1^3-\dfrac{1}{2}\times 1^2+2\times 1 \right)-\left(\dfrac{1}{4}\times (-1)^4-\dfrac{2}{3}\times (-1)^3-\dfrac{1}{2}\times (-1)^2+2\times (-1) \right)$

$=\left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{2}+2 \right)-\left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{2}-2 \right)$

$=-\dfrac{4}{3}+4$

$=\dfrac{8}{3}$

青色部分を計算する

$\left[-\dfrac{1}{4}x^4+\dfrac{2}{3}x^3+\dfrac{1}{2}x^2-2x \right]_{1}^2$

$=\left(-\dfrac{1}{4}\times 2^4+\dfrac{2}{3}\times 2^3+\dfrac{1}{2}\times 2^2-2\times 2 \right)-\left(-\dfrac{1}{4}\times 1^4+\dfrac{2}{3}\times 1^3+\dfrac{1}{2}\times 1^2-2\times 1 \right)$