Math Kit

途中式を飛ばさない数学ブログ

Profile

YutoHisano
高校数学を途中式を飛ばさずに解説します。それと、ちょっとした休憩時間に読める数学の面白い小話も載せていきます。

＼ Follow me ／

【三角関数】サイン+コサインを文字に置いて変換する関数問題

数学Ⅱ 数学Ⅱ-三角関数

←こちらもチェック！

読者になる

本日の問題

【問題】

関数 $f(\theta)=\sin2\theta+2(\sin \theta+\cos \theta)−1$ を考える。

ただし、 $(0 \leqq \theta \leqq 2\pi)$ とする。

(1)　 $t=\sin \theta+\cos \theta$ とおくとき、 $f(\theta)$ を $t$ の式で表せ。

(2)　 $f(\theta)$ の最大・最小を求めよ。また、そのときの $\theta$ を求めよ。

本日の問題
つまずきポイント
- 今回の問題のポイント
解説
おわりに

つまずきポイント

$t=\sin \theta+\cos \theta$ を使って、 $f(\theta)$ を $t$ で表すことが第一関門です。

次に、 $t$ で表された二次関数の最大・最小を求めることが第二関門です。

今回の問題のポイント

$t=\sin \theta+\cos \theta$ ときたら、両辺を $2$ 乗して、

$\sin\theta \cos\theta$ を求める。

この解法は、頻出となるので、確実に押さえたい問題です。

解説

$(1)$

$t=\sin \theta+\cos \theta$ より

両辺を $2$ 乗すると、

$t^2=(\sin \theta+\cos \theta)^2$

$=\sin^2 \theta+2\sin\theta \cos\theta+\cos^2 \theta$

$\sin^2\theta + \cos^2\theta =1$ より

$=1+2\sin\theta \cos\theta$ 　

$\sin\theta \cos\theta=\displaystyle\frac{t^2-1}{2}$ $\cdots$ $\ast$

$f(\theta)=\sin2\theta+2(\sin \theta+\cos \theta)−1$

$f(\theta)=2\sin\theta \cos\theta+2(\sin \theta+\cos \theta)−1$

となるので、 $\ast$ を代入すると、

$f(t)=2\times\displaystyle\frac{t^2-1}{2}+2\times t−1$

よって、

$f(t)=t^2+2t−2$

$(2)$

$f(t)=t^2+2t-2$

$f(t)=(t+1)^2-3$

頂点 $(-1, -3)$

平方完成を確認したい人はこちら

【平方完成】２パターンのやり方『自分のやりやすいやり方を見つけよう』 - Math kit_数学学習サイト

また、 $t=\sin \theta+\cos \theta$ より

合成すると、

$t=\sqrt{2} \sin \left(\theta+\dfrac{\pi}{4} \right)$ となるので、

$-\sqrt{2} \leqq t \leqq \sqrt{2}$

以上のことを踏まえて、グラフを描く。

f:id:smohisano:20210731214614p:plain

グラフより、

$t=-1$ のとき最小値 $-3$

$t=\sqrt{2}$ のとき最大値なので、

$f(\sqrt{2})=(\sqrt{2})^2+2\sqrt{2}−2$

$=2+2\sqrt{2}−2$

$=2\sqrt{2}$

よって、まとめると、

$t=-1$ のとき最小値 $-3$

$t=\sqrt{2}$ のとき最大値 $2\sqrt{2}$

$t=-1$ より

$-1=\sqrt{2} \sin \left(\theta+\dfrac{\pi}{4} \right)$

$\dfrac{-1}{\sqrt{2}}=\sin \left(\theta+\dfrac{\pi}{4} \right)$
$\theta+\dfrac{\pi}{4}=$ $\dfrac{5}{4}\pi$ , $\dfrac{7}{4}\pi$

$\theta=$ $\pi$ , $\dfrac{3}{2}\pi$

$t=\sqrt{2}$ より

$\sqrt{2}=\sqrt{2} \sin \left(\theta+\dfrac{\pi}{4} \right)$

$1=\sin \left(\theta+\dfrac{\pi}{4} \right)$

$\theta+\dfrac{\pi}{4}=$ $\dfrac{\pi}{2}$

$\theta=\dfrac{\pi}{4}$

したがって、

$\theta=$ $\pi$ , $\dfrac{3}{2}\pi$ のとき最小値 $-3$

$\theta=\dfrac{\pi}{4}$ のとき最大値 $2\sqrt{2}$

おわりに

使用された公式

・三角比の相互関係

・平方完成

・三角関数の合成

これらの公式が理解できていないと難しく感じたかもしれません。

もっと詳しく教えてほしいという方は、

下記の相談フォームからご連絡ください。

いつでもお待ちしております。

お問い合わせフォーム

https://forms.gle/2RVgwcMPcL5YxWbV7