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途中式を飛ばさない数学ブログ

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YutoHisano
高校数学を途中式を飛ばさずに解説します。それと、ちょっとした休憩時間に読める数学の面白い小話も載せていきます。

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【三角関数】サインコサインが入った方程式

数学Ⅱ 数学Ⅱ-三角関数

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本日の問題

【問題】
$0 \leqq \theta ＜ 2\pi$ のとき、次の方程式を解け。

$2\cos^2 \theta+\sin\theta-1=0$

本日の問題
つまずきポイント
- 三角比の相互関係
解説
おわりに

つまずきポイント

今回の問題は、サインコサインが入った方程式です。

サインコサインを揃えることができればそこまで難しい問題ではないです。

三角比の相互関係を使った式変形が必要になるため、

以下の公式を確認しておきましょう。

三角比の相互関係

三角比の相互関係

$\sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1$ $\ast$ 今回使用する公式

$\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$

$\tan^2\theta+1=\dfrac{1}{\cos^2 \theta}$

解説

$2\cos^{2}\theta+\sin \theta−1=0$

$\sin^2 \theta+\cos^2\theta=1$ より

$2(1-\sin^{2}\theta)+\sin \theta−1 =0$

　 $2-2\sin^{2}\theta+\sin \theta−1 =0$

　　 $-2\sin^{2}\theta+\sin\theta+1=0$

$\sin\theta=t$ とおくと、

$-2t^{2}+t+1 =0$

$(2t+1)(-t+1)=0$

$t=-\dfrac{1}{2}$ , $1$

ここで、

$0 \leqq \theta ＜ 2 \pi$ より

$-1 \leqq t \leqq 1$ となるので、

$t=-\dfrac{1}{2}$ , $1$

$\ast$ $t$ の範囲を求めて、解が範囲に入っているかどうかの確認を忘れずに

おわりに

もっと詳しく教えてほしいという方は、

下記の相談フォームからご連絡ください。

いつでもお待ちしております。

お問い合わせフォーム

https://forms.gle/2RVgwcMPcL5YxWbV7