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【指数関数】指数を二次関数に変換する

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本日の問題

【問題】

関数 y=4^{x+1}-2^{x+2}+2  (x \leqq 2) の最大値と最小値を求めよ。

 

 

つまずきポイント

指数を二次関数に変換するためには、指数法則が必要になる。

指数法則は、ややこしい法則が多いので暗記しきれていない人も多いですね。

最初は、見ながらで良いので解き進めていきましょう。

 

指数法則 

指数法則

a \neq 0, b \neq 0 で、m, n が整数のとき

1. a^m a^n=a^{m+n}　　1'. \dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}

2. (a^m)^n=a^{mn}　　  3. (ab)^n=a^n b^n

3'. \left(\dfrac{a}{b}\right)^n=\dfrac{a^n}{b^n}

 

解説

y=4^{x+1}-2^{x+2}+2

=4^x \times 4^1-2^x \times 2^2+2

=2^{2x} \times 4-2^x \times 4+2

=4 \times (2^x)^2 -4 \times 2^x+2

ここで、t=2^x とおくと、式と定義域が変わる。

 

t=2^x （x \leqq 2）のグラフを描いてみると、

f:id:smohisano:20210803132543p:plain

x\leqq 2 なので、図より

0＜ t \leqq 4となる。（文字が変換された際には、必ず必要となる作業です。）

y=4t^2 -4t+2

=4(t^2-t)+2

=4\left\{\left(t-\dfrac{1}{2}\right)^2-\left(\dfrac{1}{2}\right)^2\right\}+2

=4\left\{\left(t-\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{1}{4}\right\}+2

=4\left(t-\dfrac{1}{2}\right)^2-4\times\dfrac{1}{4}+2

=4\left(t-\dfrac{1}{2}\right)^2+1（0＜ t \leqq 4）

頂点 \left(\, \dfrac{1}{2},\, 1\, \right)

f:id:smohisano:20210803135020p:plain

グラフより、

t=\dfrac{1}{2} のとき最小値 1

t=4 のとき最大値 50

↑計算すると、

y=4t^2-4t+2 より

=4\times 4^2-4\times 4 +2

=4\times 16-16+2

=64-16+2

=50

 

t=\dfrac{1}{2} のとき t=2^x より

\dfrac{1}{2}=2^x

2^{-1}=2^x

x=-1

 

t=4 のとき t=2^x より

4=2^x

2^2=2^x

x=2 

 

よって、

x=-1 のとき最小値 1

x=2 のとき最大値 50

 

おわりに

ざっくりと手順を言うと、

①　別の文字で置き換える

②　定義域も変換する

③　グラフを描く

④　グラフを見ながら、最大・最小を求める。

 

もっと詳しく教えてほしいという方は、

下記の相談フォームからご連絡ください。

いつでもお待ちしております。

 

相談フォーム

https://forms.gle/2RVgwcMPcL5YxWbV7