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途中式を飛ばさない数学ブログ

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YutoHisano
高校数学を途中式を飛ばさずに解説します。それと、ちょっとした休憩時間に読める数学の面白い小話も載せていきます。

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ログを文字に置き換えて最大値・最小値を求める【対数関数】

数学Ⅱ 数学Ⅱ-対数関数

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問題

$1 \leqq x \leqq 8$ のとき、

関数 $y=(\log_2 x)^{2}+8\log_{\frac{1}{4}}2x+\log_2 32$ の最大値と最小値を求めよ。

問題
つまずきポイント
解説
おわりに

つまずきポイント

①　底を合わせる必要がある

底の変換公式が不安な方は、こちらの問題

www.smohisano.com

②　その他使用する公式

$a＞0$ , $a \neq 1$ , $M＞0$ , $N＞0$ , $k$ が実数のとき

$\log_a M +\log_a N = \log_a MN$

$\log_a M -\log_a N = \log_a {\dfrac{M}{N}}$

$k \log_a M = \log_a M^k$

解説

$8\log_{\frac{1}{4}}2x$ の底を $2$ にする。

$8\log_{\frac{1}{4}}2x$

$=8\times\dfrac{\log_2 2x}{\log_2{\dfrac{1}{4}}}$

$=8\times\dfrac{(\log_2 2+\log_2 x)}{(\log_2 1-\log_2 4)}$

$=8\times\dfrac{(1+\log_2 x)}{(0-2)}$

$=8\times\dfrac{(1+\log_2 x)}{-2}$

$=-4\times(1+\log_2 x)$

よって、

（与式） $=(\log_2 x)^{2}+$ $8\log_{\frac{1}{4}}2x$ $+\log_2 32$

　　　 $=(\log_2 x)^{2}$ $-4\times(1+\log_2 x)$ $+\log_2 32$

　　　 $=(\log_2 x)^{2}-4-4\log_2 x+5$

　　　 $=(\log_2 x)^{2}-4\log_2 x+1$

$\log_2 x=t$ とおくと、式と定義域が変わる。

$\log_2 x=t$ のグラフを描いてみる。

f:id:smohisano:20210803195531p:plain

$1 \leqq x \leqq 8$ なので、グラフより $0\leqq t \leqq 3$ となる。

　　　 $=t^2-4t+1$ （ $0\leqq t \leqq 3$ ）

　　　 $=(t-2)^2-4+1$

　　　 $=(t-2)^2-3$

　　　頂点 $(2,-3)$

f:id:smohisano:20210803213847p:plain

グラフより、

$t=2$ のとき最小値 $-3$

$t=0$ のとき最大値 $1$

$t=2$ より $\log_2 x=t$ なので、

$\log_2 x=2$

$\log_2 x=\log_2 4$

$x=4$

$t=0$ より $\log_2 x=t$ なので、

$\log_2 x=0$

$\log_2 x=\log_2 1$

$x=1$

よって、

$x=4$ のとき最小値 $-3$

$x=1$ のとき最大値 $1$

おわりに

簡単に手順を書くと、

①　対数部分を文字に置き換える

②　定義域を修正する

③　置き換えた文字の関数の最大・最小を求める。

④　置き換えた文字を戻す

もっと詳しく教えてほしいという方は、

下記の相談フォームからご連絡ください。

いつでもお待ちしております。

お問い合わせフォーム

https://forms.gle/2RVgwcMPcL5YxWbV7

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