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途中式を飛ばさない数学ブログ

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YutoHisano
高校数学を途中式を飛ばさずに解説します。それと、ちょっとした休憩時間に読める数学の面白い小話も載せていきます。

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【微分法】２つの放物線の共通接線

数学Ⅱ 数学Ⅱ-微分法

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問題

$2$ つの放物線 $y=-x^{2}$ , $y=x^{2}-2x+5$ の共通接線の方程式を求めよ。

問題
つまずきポイント
- 共通接線のイメージ
- 使う公式
解説
おわりに

つまずきポイント

共通接線のイメージをするのが難しいです。

イメージをするためには、二次関数のグラフを描ける必要がありますね。

イメージができれば、共通接戦はふたつ引けるかも？という予想が立てられますね。

共通接線のイメージ

f:id:smohisano:20210805134637p:plain

このように、ふたつ引くことが出来ます。

$\ast$ ここのグラフは100%正確に描く必要はありません。あくまでもイメージするためのものです。

使う公式

接線の求め方がいまいちわからない方はこちらを先に解くと良いです。

www.smohisano.com

$y=f(x)$ 上の点 $(t,\, f(t))$ における接線の方程式は、

$y-f(t)=f'(t)(x-t)$ （ $f'(t)$ ：接線の傾き）

接線の傾き $f'(t)$ を求める手順

①　 $f(x)$ を微分をする。（ $f'(x)$ を求める）

②　 $f'(x)$ の $x$ 座標に接点の $x$ 座標を代入する

解説

$f(x)=-x^2$ , $g(x)=x^2-2x+5$ とおく。

接点 $(a, -a^2)$ とおくと、

$f'(x)=-2x$

$f'(a)=-2a$ （接点の $x$ 座標 $a$ を代入する）

よって、

$y-(-a^2)=-2a(x-a)$

$y=-2ax+a^2$ $\cdots$ ①

接点 $(b, b^2-2b+5)$ とおくと、

$g'(x)=2x-2$

$g'(b)=2b-2$ （接点の $x$ 座標 $a$ を代入する）

よって、

$y-(b^2-2b+5)=(2b-2)(x-b)$

$y-b^2+2b-5=(2b-2)x-2b^2+2b$

$y=(2b-2)x-b^2+5$ $\cdots$ ②

①, ② は、傾きと切片が等しいので、

傾きが等しいことより、

$-2a=2b-2$

$a+b=1$ $\cdots$ ③

切片が等しいことより、

$a^2=-b^2+5$

$a^2+b^2=5$ $\cdots$ ④

③より、

$b=1-a$

④に代入すると、

$a^2+(1-a)^2=5$

$a^2+1-2a+a^2=5$

$2a^2-2a-4=0$

$a^2-a-2=0$

$(a-2)(a+1)=0$

$a=2$ , $-1$

$a=2$ のとき、 $y=-4x+4$

$a=-1$ のとき、 $y=x+1$

おわりに

接線の方程式に必要なのは、接点と傾きです。

接点：問題にない時は、文字でおく。

傾き：微分した式に接点の $x$ 座標を代入する。

接点が与えられているかどうか、傾きが与えられているかどうかは問題文をしっかりと読んで判断しましょう。

もっと詳しく教えてほしいという方は、

下記の相談フォームからご連絡ください。

いつでもお待ちしております。

お問い合わせフォーム

https://forms.gle/2RVgwcMPcL5YxWbV7

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