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途中式を飛ばさない数学ブログ

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YutoHisano
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２から５までいくつ増えてる？これが一番わかりやすい微分の定義

数学Ⅱ 数学Ⅱ-微分法

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はじめに
グラフにより変化具合を見てみる
- 変化具合が一定の場合
- 変化具合が変動する場合
曲線の変化具合を考える
- 2点間の直線の傾き
- 「ほぼ」1 点に接する直線の傾き
まとめ
変化具合を計算してみよう
おわりに
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はじめに

今回は、微分の定義についてわかりやすく解説します。

早速ですが、数学の教科書に載っている微分の定義を見てみましょう。

$y=f(x)$ 上の $x=a$ における接線の傾き $f'(a)$ は、

$f'(a)=\displaystyle\lim_{b \to a}\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$

となる。

これを見て多くの人が、「微分は諦めよう」と思ったのではないでしょうか？

今回は、この公式を紐解いていきたいと思います。

早速ですが微分とは、

「変化具合を表したもの」です。

変化具合とは、 $x$ が $1$ ずつ増えていく時に $y$ がどのように増えるのか？ということです。

例えば、 $y=2x$ なら $y$ は $2$ ずつ増えるし、

$y=3$ なら $y$ は全く増えません。

では、 $y=x^2$ はどうなるでしょうか？というのが、今回の論点になります。

ではここから、グラフを見ながら具体的に見ていきましょう。

接線の問題はこちら

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共通接線の問題はこちら

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グラフを描く問題はこちら

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グラフにより変化具合を見てみる

グラフによって変化具合が一定だったり一定でなかったりします。

では見ていきましょう。

変化具合が一定の場合

① $y=3$ の変化具合

f:id:smohisano:20210804171143p:plain

$y=3$ のグラフと表を見てみると、変化は全くしていないことがわかります。

よって、変化具合は、 $0$ です。

② $y=2x$ の変化具合

f:id:smohisano:20210804171049p:plain

$y=2x$ のグラフと表を見てみると、 $y$ が $2$ ずつ増えていることがわかる。

よって、変化具合は、 $2$ です。

変化具合が変動する場合

③ $y=x^2$ の変化具合

f:id:smohisano:20210804171756p:plain

$y=x^2$ のグラフと表を見てみると、

$x=1$ から $x=2$ のとき、 $y$ の変化は $3$

$x=2$ から $x=3$ のとき、 $y$ の変化は $5$

$x=3$ から $x=4$ のとき、 $y$ の変化は $7$

このように場所によって変化具合が異なることがわかります

そのため、

曲線の場合、別の方法での定義が必要です。

ここまでの変化具合を表したグラフの中でも $y=2x$ で表された変化具合が重要です。

【 $y=2x$ の変化具合について】

f:id:smohisano:20210804171049p:plain

$y$ が $2$ ずつ増えているので、変化具合は $2$ です。

直線の場合の変化具合は、傾きと一致します。

つまり直線の場合は、

傾きを見れば変化具合がわかるということです。

曲線の変化具合を考える

曲線 $f(x)$ の変化具合を調べるために、

$2$ 点間の直線の傾きから考えていく。

2点間の直線の傾き

f:id:smohisano:20210808164355p:plain

$傾き（変化具合）=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$

ここで、 $b$ を $a$ に近づけていく。

f:id:smohisano:20210808164418p:plain

f:id:smohisano:20210808164450p:plain

近づけても、 $2$ 点間の直線の傾きであることには変わりない。

$傾き（変化具合）=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$

さらに、 $b$ を $a$ に限りなく近づけていく。

「ほぼ」1 点に接する直線の傾き

f:id:smohisano:20210808164510p:plain

限りなく近づけても、 $2$ 点間の直線の傾きであることには変わりがない。

$傾き（変化具合）=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$

しかし、これだと「限りなく」という意味合いが反映されていない。

そこで、 $b$ を $a$ に限りなく近づけたことを表した式が、

$\displaystyle\lim_{b \to a}\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$

である。

この式は、

「赤い点（接点）に接する青い直線（接線）の傾き」を表している。

まとめ

微分するとは、

「変化の具合を表すもの」でありグラフ上の変化の具合は、

「グラフ上の接点における接線の傾き」によって表される。

そして、その値は、

$y=f(x)$ 上の $x=a$ における接線の傾き $f'(a)$ は、

$f'(a)=\displaystyle\lim_{b \to a}\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$

この公式により求められる。

変化具合を計算してみよう

例題） $f(x)=x^2$ 上の $x=2$ における変化具合（接線の傾き）を計算せよ。

定義より、

$f'(2)=\displaystyle\lim_{b \to 2}\dfrac{f(b)-f(2)}{b-2}$ $\ast$ $a$ に $2$ を代入する。

$f(x)=x^2$ より $f(b)=b^2$ , $f(2)=4$ なので、

よって、

$=\displaystyle\lim_{b \to 2}\dfrac{b^2-4}{b-2}$

$=\displaystyle\lim_{b \to 2}\dfrac{(b-2)(b+2)}{b-2}$

$=\displaystyle\lim_{b \to 2} (b+2)$

$=4$

このように計算することは可能だが、計算が面倒なので実際に計算する時は、

以下の式を使いましょう。

簡単に微分する方法

　 $f(x)=x^k$

　 $f'(x)=kx^{k-1}$

よって、

（別解）

$f(x)=x^2$ 上の $x=2$ における接線の傾きは、

$f'(x)=2x$

$f'(2)=4$

おわりに

今回は、微分の定義についてわかりやすく解説しました。

いろんな単元の内容を習得している必要があります。

微分でなかなか理解できない場合は、

どの単元が足りていないのかを確認する機会にもなりますね。

もっと詳しく教えてほしいという方は、

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いつでもお待ちしております。

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