はじめに
今回は、高校数学における数列の基本について話していきます。
数列の詳しい説明は後々しますが、簡単にいえば数の列です。
例えば、アルバイトをしている A さん
月の給料は、
円
月の給料は、
円
月の給料は、
円
だったとする。
では、 月にいくらもらえますか？
必ずしもそうとは限りませんが、
おそらく多くの人が 円って思うことでしょう。
こういう考え方の根本を成している概念こそが、数列です。
先述したように、必ず 円をもらえるとは限りません。
しかし、未来を予想する１つの指標として活用することが出来るでしょう。
では、数列について詳しく見ていきましょう。
数列とは
数にはいろいろな種類がありますね。
整数、分数、無理数、・・・
こういった「数」が、ある規則で順番に並んで「列」を成しているとき、
それを数列といいます。
例えば、
,
,
,
,
という数列は、
「右にズレるにつれて ずつ足されている。（もしくは左にズレるにつれて
ずつ引かれている）」という規則を持っていますね。
数列の分野に出てくる主な数学用語
数列という分野において、
数列を形成している一つひとつの数を「項」といいます。
上記の例であれば、例えば や
などの数がそれにあたります。
そして、数列の最初の項を「初項」、最後の項を「末項」といいます。
上記の例であれば、初項が 、末項が
ということになりますね。
高校数学における数列の目的とは？
目的① 一般項を求める
一般項
数列の第 項を
の式で表したもの
一般項について説明していきます。
一般的に、数列の各項は番号で表されます。
上記の例であれば、
（初項）⇒1番目の数
⇒2番目の数
などのように呼ばれます。
このとき、各々の番号の数を、 などの文字を用いて、
、
などのように表します。つまり上記の例であれば、
などのように数が対応することになるのです。
そして、仮にこの数列がもっと多くの項をもっていた場合は、
番目の数は「
」
番目の数は「
」
などのように表されることになり、今回の例でそれらに対応する数を考えると、
と予想できるかと思います。
では、具体的な番号ではなく、
任意の番号（仮に 番目とする）である
に対応する数を、
文字を使って一般的に表そうとすると、どうなるのでしょうか？
この に対応する数を文字を使って表すことが、数列の問題における主な目的となります。
例えば今回の例であれば、
という情報を整理すると、という式になりますね。
仮にこの式の に
を代入すると、
となるので、
番目の数は
であると分かるわけですね。
目的② 漸化式を求める
漸化式
番目の値と
番目の値の関係性
目的① のように一般項が求められていないときもあります。
一般項がわかっていなくても、漸化式がわかっているだけでも得られる情報は多くあります。
例えば、
番目の値と
番目の値の関係性が
だとする。
この漸化式は、 が
されると
増えるような数列であることがわかります。
このように、 の値はわからないけど、お隣さん同士の関係性がわかっているだけでも得られる情報は多くあります。
高校数学の数列では、
漸化式を求める問題や漸化式から一般項を求める問題が頻繁に出題されます。
おわりに
高校数学の数列は、
「一般項を求める問題」や「漸化式を求める問題」が頻出問題となっています。
また、数列の単元内に収まらず、確率や関数といった単元と絡めた問題も頻出問題となっています。
難しい問題も多いですが、この記事を基盤として問題を扱っていきましょう。
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