問題
次の問いに答えなさい。
(1) 数列 ,
,
,
の一般項
を求めよ。
(2) (1) の数列について，初項から第 項までの和
を求めよ。
(3) 初項 , 公比
の等比数列の初項から第
項までの和
を求めよ。
つまずきポイント
今回は、等比数列の一般項と和の一般項の問題です。
等差数列同様、公式を覚えられていれば、問題なく解けるのではないかと思います。
和を求める問題では、
等差数列のときのように、公式の中に含まれる文字の数が少し増えてきます。
ここで重要なのは、
公式を使うにはどんな情報が必要で、その情報は問題文から見出せるかを考えることです。
実際に上記の問題を使って、ポイントをおさえながら一緒に考えていきましょう。
等比数列の一般項の公式
：初項,
：項数,
：公比
等比数列の和の公式
：初項,
：項数,
：公比
のとき、
①
のとき、
②
和の公式として登場する頻度が高いのは、圧倒的に①です。
また、末項がわかっていた場合、末項を として、
などのように表すことができますが、使用頻度が低い上、①を使って導くことが容易なため、覚える必要はありません。
解説
(1)
より、この公式を使うためには、初項（
）と公比（
）という
つの情報が必要です。
一般項を求めることは、第 番目の項を求めることに等しいので、
という文字はそのまま残っていても問題ないわけです。
これは等差数列の一般項と同じですね。
今回、初項は 、公比は
なので、
という結果となります。
(2)
今回は和を求める問題です。
(1) の数列で、公比が であったことから、
なので、和の公式の①を使うことになります。
①を使い、 を求めてみましょう。
①の公式を活用する場合、必要な情報は (1) と同様、初項と公比の つです。
これにより、ひとまず第 番目の項までの和（
）を求めることができます。
よって、
となりますね。
ここで、今回は初項（第 項）から第
項までの和を求めるので、
項数である は
ということになり、答えは
となります。
(3)
この問題では、(2) とは初項と公比の値は違いますが、和を問われていることに変わりはありません。
よって、ここで必要な情報は (2) と変わらず、初項と公比の つです。
あとはこれらを公式に当てはめ、
となります。
今回は、初項（第 項）から第
項までの和なので、
となり、
という結果となります。
おわりに
今回は、等比数列の一般項と和の一般項の問題でした。
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