式を図に落とし込む！位置ベクトルについての問題

はじめに

今回は、位置ベクトルについての問題です。

早速ですが、ポイントは２点あります。

①　位置ベクトルがなにかを理解する

②　式を図に落とし込む

図に落とし込むことができれば、問題を解くために必要な情報が見えてきます。

式を図に落とし込むポイント

式を図に落とし込むために、始点を変更しなければいけない場合があります。

始点の変更についてはこちらをチェック

www.smohisano.com

位置ベクトルとは？

位置ベクトルとは、

$\overrightarrow{p}$ に対して、任意の点を始点（ここでは、点 $P$ とする。）にして、 $\overrightarrow{p}=\overrightarrow{OP}$ と表すことです。

よく使用する形

$\triangle{ABC}$ において、線分 $BC$ を $m$ $:$ $n$ に内分する点を $P$ とするとき、

$\overrightarrow{AP}=$ $\dfrac{n}{m+n}$ $\overrightarrow{AB}$ + $\dfrac{m}{m+n}$ $\overrightarrow{AC}$

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はじめに
- 式を図に落とし込むポイント
- 位置ベクトルとは？
問題
解説
実際の答案
おわりに
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問題

$\triangle{ABC}$ の内部に点 $P$ があり、 $6\overrightarrow{PA}+3\overrightarrow{PB}+2\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0}$ を満たすとき、

点 $P$ はどのような位置にあるか。

解説

今回の場合は、

式： $6\overrightarrow{PA}+3\overrightarrow{PB}+2\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0}$

図： $\triangle{ABC}$

上記の式を図に落とし込む必要があります。

そのためにまずは始点を変更してみましょう。

今回の問題の式を見てみると、始点が $P$ になっていますね。

このままだと点 $P$ の位置がよくわかりません。

点 $P$ の位置をわかりやすくするためには、

三角形の頂点を始点にしましょう。

$6\overrightarrow{PA}+3\overrightarrow{PB}+2\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0}$

$6(-\overrightarrow{AP})+3(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AP})+2(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AP})=\overrightarrow{0}$

　 $-6\overrightarrow{AP}+3\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{AP}+2\overrightarrow{AC}-2\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{0}$

　　　　　　　 $11\overrightarrow{AP}=3\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}$

　　　　　　　 $\overrightarrow{AP}=\dfrac{3}{11}\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{11}\overrightarrow{AC}$

　　　　　　　 $\overrightarrow{AP}=\dfrac{5}{11} \left(\dfrac{3}{5}\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{5}\overrightarrow{AC}\right)$

ここまで整理できたら、図に落とし込みましょう。

$\overrightarrow{AD}=\dfrac{3}{5}\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{5}\overrightarrow{AC}$ とおくと、

点 $D$ は、 $\triangle{ABC}$ において線分 $BC$ を $2$ $:$ $3$ に内分する点とわかる。 $\cdots$ ①

① より

f:id:smohisano:20210822162028p:plain

また、

$\overrightarrow{AP}=\dfrac{5}{11} \overrightarrow{AD}$

と表されるので、

点 $P$ は、 $\triangle{ABC}$ において線分 $AD$ を $5$ $:$ $6$ に内分する点とわかる。 $\cdots$ ②

② より

f:id:smohisano:20210822162050p:plain

点 $P$ は、 $\triangle{ABC}$ において線分 $AD$ を $5$ $:$ $6$ に内分する点とわかる。 $\cdots$ ②

ここまでの内容を踏まえた上で実際の答案を見ていきましょう。

実際の答案

$6\overrightarrow{PA}+3\overrightarrow{PB}+2\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0}$

$6(-\overrightarrow{AP})+3(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AP})+2(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AP})=\overrightarrow{0}$

　 $-6\overrightarrow{AP}+3\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{AP}+2\overrightarrow{AC}-2\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{0}$

　　　　　　　 $11\overrightarrow{AP}=3\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}$

　　　　　　　 $\overrightarrow{AP}=\dfrac{3}{11}\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{11}\overrightarrow{AC}$

　　　　　　　 $\overrightarrow{AP}=\dfrac{5}{11} \left(\dfrac{3}{5}\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{5}\overrightarrow{AC}\right)$

$\overrightarrow{AD}=\dfrac{3}{5}\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{5}\overrightarrow{AC}$ とおくと、

$\overrightarrow{AP}=\dfrac{5}{11} \overrightarrow{AD}$

と表される。よって、

$\triangle{ABC}$ において線分 $BC$ を $2$ $:$ $3$ に内分する点を点 $D$ とすると、

点 $P$ は、線分 $AD$ を $5$ $:$ $6$ に内分する点である。

おわりに

今回は、位置ベクトルについての問題でした。

記事の問題に対して質問がある方はいつでもご連絡ください。

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