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途中式を飛ばさない数学ブログ

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YutoHisano
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並べるか並べないか！9 人を 3 人の３組に分ける組合せ

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はじめに

今回は、９人を３人の３組に分ける組合せの問題です。

９人を３人に分けるときの注意点は、分けた３人組のグループ３つを並べるかどうかです。

次の①と②を見てみましょう。

①　９人を３人ずつに分ける（だけ）

②　９人をチーム $A$ ,　 $B$ ,　 $C$ に３人ずつに分ける

①と②は計算方法が異なります。

以上の注意点を意識しながら問題を見てましょう！

はじめに
問題
答案の例
解説
おわりに
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問題

$9$ 人を次のように分ける方法は何通りあるか？

$(1)$ 　 $3$ 人ずつ $A$ ,　 $B$ ,　 $C$ の $3$ 組に分ける

$(2)$ 　 $3$ 人ずつ $3$ 組に分ける

答案の例

$(1)$ 　

$9$ 人から $3$ 人を選ぶ方法は、 ${}_9 C_3$

残り $6$ 人から $3$ 人を選ぶ方法は、 ${}_6 C_3$

残り $3$ 人から $3$ 人を選ぶ方法は、 ${}_3 C_3$

　 ${}_9 C_3×{}_6 C_3×{}_3 C_3=1680$

$(2)$

${}_9 C_3×{}_6 C_3×{}_3 C_3$ $\div 3!$ $=1680$ $\div 6$

　　　　　　　　　　 $=280$

解説

$(1)$ 　

Point

①　各クラス $A$ ,　 $B$ ,　 $C$ に割り振られた $3$ 人に順番はない

②　各クラス $A$ ,　 $B$ ,　 $C$ に順番はある

$9$ 人から $3$ 人を選ぶ方法は、 ${}_9 C_3$

残り $6$ 人から $3$ 人を選ぶ方法は、 ${}_6 C_3$

残り $3$ 人から $3$ 人を選ぶ方法は、 ${}_3 C_3$

クラスに順番がある時は、上記で求めたものを掛け合わせるだけなので、

　 ${}_9 C_3×{}_6 C_3×{}_3 C_3=1680$

$(2)$

Point

①　各クラス $A$ ,　 $B$ ,　 $C$ に割り振られた $3$ 人に順番はない

②　各クラスにも順番はない

$(1)$ のとき、 $9$ 人のうち $3$ 人が $A$ にいるときと、

$B$ にいるときは区別していました。

しかし $(2)$ の場合、クラスが割り振られていないため、区別しません。

つまり、

$9$ 人を $a,b,c,d,e,f,g,h,i$ と置くと、

① $abc$ , $def$ , $ghi$

② $abc$ , $ghi$ , $def$

③ $def$ , $abc$ , $ghi$

④ $def$ , $ghi$ , $abc$

⑤ $ghi$ , $abc$ , $def$

⑥ $ghi$ , $def$ , $abc$

①〜⑥は全て同じ並び順となる。

よって、

　 ${}_9 C_3×{}_6 C_3×{}_3 C_3$ $\div 3!$ $=1680$ $\div 6$

　　　　　　　　　　　 $=280$

おわりに

今回は、９人を３人の３組に分ける組合せの問題でした。

組合せに似たものに「順列」という単元もあります。

この二つの違いを明確にするのが、場合の数の最初の難関になると思います。

↓順列の問題はこちら

「固定」と「ひとかたまり」を覚えるだけ！男女の並び方を題材にした順列の場合の数 - Math Kit

↓順列と組合せの違いの解説はこちら

順列と組合せの違いを解説！イメージによる解説と公式から読み解く解説 - Math Kit

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