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文字列「YOKOHAMA」を並べるときの組合せの問題

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はじめに

今回は、文字列を題材にした組合せの問題です。

 

組合せの問題の中で、

YOKOHAMA,　TOUHOKU のように文字列の並び方を題材にしたものは頻出となっています。

 

今回は、YOKOHAMA を扱いますが、

O や A が複数個ありますね。そこが解くときのポイントになります！

 

順列と組合せの違いを明確化できていないと応用問題に対応できません。

不安な方はこちらをチェックしてみてください。

順列と組合せの違いを解説！イメージによる解説と公式から読み解く解説 - Math Kit

 

 

問題

YOKOHAMA の8 文字を横 1 列に並べて順列を作るとき、次の数を求めよ。

(1)　順列の総数
(2)　AA と OO という並びをともに含む順列の数
(3)　Y , K , H , M がこの順に並ぶ順列の数

 

答案の例

(1)　順列の総数

\dfrac{8!}{2!2!}=10080

 

(別解)

{}_8C_2\times {}_6C_2\times 4!

=10080

 

(2)　AA と OO という並びをともに含む順列の数

AA をまとめて A',　OO をまとめて O' で表すと、

求めるのは、A',　O',　Y,　K,　H,　M の並び方を求めれば良いので、

6!=6\times 5\times 4\times 3\times2\times1

=720

 

(3)　Y , K , H , M がこの順に並ぶ順列の数

X 4 個, O 2 個, A 2 個を並べる。

X に Y,　K,　H,　M をこの順番に入れれば良い。

よって、

{}_8C_{4}\times {}_4C_{2}\times {}_2C_{2}

=420

 

解説

(1)　順列の総数
全て違う文字だとして考えてみると、

Y,　K,　H,　M,　O_{1},　O_{2},　A_{1},　A_{2}

8個の文字の順列なので、

　8!=8×7×6×5×4×3×2×1=40320

しかし、実際は O_{1} と O_{2},　 A_{1} と A_{2} は同じ文字なので区別するのはおかしい。

 

例えば、

Y,　O_{2},　K,　O_{1},　H,　A_{1},　M,　A_{2} と

Y,　O_{1},　K,　O_{2},　H,　A_{1},　M,　A_{2}

この２つは同じYOKOHAMAである。よって、

\dfrac{8!}{2!}=20160

となる。また、 A_{1},　A_{2} にも同様のことが言えるので、

\dfrac{8!}{2!2!}=10080

となる。

 

(別解)

{}_8C_2\times {}_6C_2\times 4!

=10080

 

(2)　AA と OO という並びをともに含む順列の数

AA をまとめて A',　OO をまとめて O' で表すと、

 

f:id:smohisano:20210725113411p:plain

求めるのは、A',　O',　Y,　K,　H,　M の並び方を求めれば良いので、

6!=6\times 5\times 4\times 3\times2\times1

=720

 

(3)　Y , K , H , M がこの順に並ぶ順列の数

X 4 個, O 2 個, A 2 個を並べる。

X に Y,　K,　H,　M をこの順番に入れれば良い。

 

f:id:smohisano:20210725113912p:plain

よって、

{}_8C_{4}\times {}_4C_{2}\times {}_2C_{2}

=420

 

おわりに 

今回は、文字列を題材にした組合せの問題でした。

 

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