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途中式を飛ばさない数学ブログ

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YutoHisano
高校数学を途中式を飛ばさずに解説します。それと、ちょっとした休憩時間に読める数学の面白い小話も載せていきます。

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整数問題の基本が詰まった問題！根号が外れるような自然数 n を求める。

数学A 数学A-整数の性質

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はじめに

今回は、整数問題の基本が詰まった問題です。

整数の性質の中でも、基本的な考え方が詰まった問題です。

基本的な考え方を解説する前に一つ問題です。

$m\times n=6$ となる時、整数 $m$ ,　 $n$ は何になるでしょうか？

答えは、

$(m$ ,　 $n)$ $=(1$ ,　 $6)$ ,　 $(2$ ,　 $3)$ ,　 $(3$ ,　 $2)$ ,　

　　　　　 $(6$ ,　 $1)$ ,　 $(-1$ ,　 $-6)$ ,　 $(-2$ ,　 $-3)$ ,　

　　　　　 $(-3$ ,　 $-2)$ ,　 $(-8$ ,　 $-1)$

以上のような値になるのは理解できますでしょうか？

では、これをもう少し公式っぽくしてみましょう！

整数問題の基本①

$\big($ 積 $\big)$ $=$ $\big($ 整数 $\big)$ の形にします。

つまり、

◯ $\times$ △ $=$ 整数

の形にすることを目指します。

整数問題の基本②

数字の種類に気をつける。

・整数

・実数

・自然数 $\cdots$

求めたい数字がなにかによって、答えが異なります。

数字の体系がピンとこない方はこちらをチェックしてみてください。

実数とか整数とか違い理解する必要なんてあるの？数の体系を理解する必要性とは？ - Math Kit

問題

$\sqrt{n^{2}+40}$ が自然数となるような自然数 $n$ を全て求めよ。

はじめに
- 整数問題の基本①
- 整数問題の基本②
問題
答案の例
解説
おわりに
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答案の例

$\sqrt{n^{2}+40}=m$ とおく

　　 $n^{2}+40=m^{2}$

　　 $m^{2}-n^{2}=40$

　 $(m+n)(m-n)=40$

$m+n$ ,　 $m-n$ の組み合わせを考える。

$(m+n\, , \,m-n)$

$=$ $(1\, , \,40)\: , \:(2\, , \,20)\: , \:(4\, , \,10)\: , \:(5\, , \,8)\: ,$

$(8\, , \,5)\: , \:(10\, , \,4)\: , \:(20\, , \,2)\: , \:(40\, , \,1)\: ,$

$(-1\, , \,-40)\: , \:(-2\, , \,-20)\: , \:(-4\, , \,-10)\: , \:(-5\, , \,-8)\: ,$

$(-8\, , \,-5)\: , \:(-10\, , \,-4)\: , \:(-20\, , \,-2)\: , \:(-40\, , \,-1)$

$40=(m+n)(m-n)$ > $0$ 　より

$\big($ $m+n$ > $0$ かつ $m-n$ > $0$ $\big)$

または、

$\big($ $m+n$ < $0$ かつ $m-n$ < $0$ $\big)$

$m$ ,　 $n$ は自然数より、 $m+n$ < $0$ ではないので、

$\big($ $m+n$ > $0$ かつ $m-n$ > $0$ $\big)$ 　 $\cdots$ ①

さらに、

$m+n$ > $m-n$ 　 $\cdots$ ②

①、②より

$m+n$ > $m-n$ > $0$

以上を踏まえると、 $m+n$ ,　 $m-n$ の組み合わせは

$(m+n \, , \, m-n)=(8\, ,\,5)\, ,\,(10\, ,\,4)\, ,\, (20\, ,\,2)\, ,\, (40\, ,\,1)$

となる。

$\begin{cases}m+n=8\\m-n= 5 \end{cases}$ ,　 $\begin{cases}m+n=10\\m-n= 4 \end{cases}$ ,　

$\begin{cases}m+n=20\\m-n= 2 \end{cases}$ ,　 $\begin{cases}m+n=40\\m-n= 1 \end{cases}$

よって、

$(m\, , \,n)$ $=$ $\left( \displaystyle\frac{41}{2}\, , \,\frac{39}{2}\right)$ ,　 $(11\, , \,9)$ ,　 $(7\, , \,3)$ ,　 $\left( \displaystyle\frac{13}{2}\, , \,\frac{3}{2}\right)$

$n$ は自然数より

$n=9\, , \,3$

解説

◯ $\times$ △ $=$ 整数 の形を目指す。

$\sqrt{n^{2}+40}=m$ とおく

　　 $n^{2}+40=m^{2}$

　　 $m^{2}-n^{2}=40$

　 $(m+n)(m-n)=40$

$m+n$ ,　 $m-n$ の組み合わせを考える。

求めたいのは自然数 $n$ だが、 $m+n$ ,　 $m-n$ が自然数となるかはどこにも条件が書かれていないので、一旦は整数として求める。よって、マイナスの値も含める。

$(m+n\, , \,m-n)$

$=$ $(1\, , \,40)\: , \:(2\, , \,20)\: , \:(4\, , \,10)\: , \:(5\, , \,8)\: ,$

$(8\, , \,5)\: , \:(10\, , \,4)\: , \:(20\, , \,2)\: , \:(40\, , \,1)\: ,$

$(-1\, , \,-40)\: , \:(-2\, , \,-20)\: , \:(-4\, , \,-10)\: , \:(-5\, , \,-8)\: ,$

$(-8\, , \,-5)\: , \:(-10\, , \,-4)\: , \:(-20\, , \,-2)\: , \:(-40\, , \,-1)$

全てのパターンを出すとこうなる。

$40=(m+n)(m-n)$ > $0$ 　より

$\big($ $m+n$ > $0$ かつ $m-n$ > $0$ $\big)$

または、

$\big($ $m+n$ < $0$ かつ $m-n$ < $0$ $\big)$

$m$ ,　 $n$ は自然数より、 $m+n$ < $0$ ではないので、

$\big($ $m+n$ > $0$ かつ $m-n$ > $0$ $\big)$ 　 $\cdots$ ①

さらに、

$m+n$ > $m-n$ 　 $\cdots$ ②

①、②より

$m+n$ > $m-n$ > $0$

以上を踏まえると、 $m+n$ ,　 $m-n$ の組み合わせは

$(m+n \, , \, m-n)=(8\, ,\,5)\, ,\,(10\, ,\,4)\, ,\, (20\, ,\,2)\, ,\, (40\, ,\,1)$

となる。

$\begin{cases}m+n=8\\m-n= 5 \end{cases}$ ,　 $\begin{cases}m+n=10\\m-n= 4 \end{cases}$ ,　

$\begin{cases}m+n=20\\m-n= 2 \end{cases}$ ,　 $\begin{cases}m+n=40\\m-n= 1 \end{cases}$

それぞれの連立方程式を解く

それぞれ解くと、

$(m\, , \,n)$ $=$ $\left( \displaystyle\frac{41}{2}\, , \,\frac{39}{2}\right)$ ,　 $(11\, , \,9)$ ,　 $(7\, , \,3)$ ,　 $\left( \displaystyle\frac{13}{2}\, , \,\frac{3}{2}\right)$

$n$ は自然数より

$n=9\, , \,3$

おわりに

今回は、整数問題の基本が詰まった問題でした。

記事の問題に対して質問がある方はいつでもご連絡ください。

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いつでもお待ちしております。

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