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途中式を飛ばさない数学ブログ

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YutoHisano
高校数学を途中式を飛ばさずに解説します。それと、ちょっとした休憩時間に読める数学の面白い小話も載せていきます。

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何が違う？図形と方程式で習う、直線の方程式

数学Ⅱ 数学Ⅱ-図形と方程式

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はじめに

今回は、図形と方程式で習う、直線の方程式を求める問題です。

直線の方程式といえば、中学校の時にも扱いましたね。

例題）

$点(2$ ,　 $3)$ を通り、傾き $3$ の直線の方程式を求めなさい。

$y=ax+b$ より

傾きが $3$ なので、

　 $y=3x+b$

$点(2$ ,　 $3)$ を通るので、

　 $3=3\times 2+b$

　 $3=6+b$

　 $6+b=3$

　　 $b=-3$

よって、 $y=3x-3$

これが中学までのやり方です。

しかし、この方法だと途中式が多く、時間がかかりすぎます。

そこで、高校数学では同じ問題をよりスムーズに解く方法を学びます。

直線の方程式の求め方の公式

点 $(x_{1},y_{1})$ を通り、傾き $m$ の直線の方程式は、

$y-y_{1}=m(x-x_{1})$ ,　 $m=\displaystyle\frac{yの増加量}{xの増加量}$

となる。

求め方のパターン

直線の方程式を求めるために必要な条件

$(ⅰ)$ 通る点 $2$ つ

$(ⅱ)$ 通る点 $1$ つと傾き

$(ⅲ)$ 傾きと切片

はじめに
- 直線の方程式の求め方の公式
- 求め方のパターン
問題
答案の例
解説
おわりに
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問題

$2$ 直線 $x+y-4=0$ $\cdots①$ ,　 $2x-y+1=0$ $\cdots②$ の交点を通り、点 $(-1$ ,　 $2)$ を通る直線の方程式を求めよ。

答案の例

$\begin{cases}x+y-4=0 \cdots①\\2x-y+1=0 \cdots②\end{cases}$

　 $①+②$

　　 $3x-3=0$

　　 $x=1$

　 $①$ に代入

　　 $1+y-4=0$

　　 $y=3$

交点 $(1$ ,　 $3)$

よって、 $(1$ ,　 $3)$ と $(-1$ ,　 $2)$ を通ることがわかったので、

$(傾き)=\dfrac{3-2}{1-(-1)}=\dfrac{1}{2}$

したがって、

　 $y-3=\dfrac{1}{2}(x-1)$

　 $y-3=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}$

　　 $y=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}+3$

　　 $y=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{5}{2}$

解説

交点を求める

$\begin{cases}x+y-4=0 \cdots①\\2x-y+1=0 \cdots②\end{cases}$

　 $①+②$

　　 $3x-3=0$

　　 $x=1$

　 $①$ に代入

　　 $1+y-4=0$

　　 $y=3$

交点 $(1$ ,　 $3)$

条件により直線の方程式を求める

上記で求めた点 $(1$ ,　 $3)$ と問いにある点 $(−1$ ,　 $2)$ を通る直線となるので、このことから傾きを求める。

　 $(傾き)=\dfrac{3-2}{1-(-1)}=\dfrac{1}{2}$

よって、点 $(1$ ,　 $3)$ を通り、傾き $\dfrac{1}{2}$ を通る直線を求めれば良い。

　 $y-3=\dfrac{1}{2}(x-1)$

　 $y-3=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}$

　　　 $y=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}+3$

　　　 $y=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{5}{2}$

おわりに

今回は、図形と方程式で習う、直線の方程式を求める問題でした。

記事の問題に対して質問がある方はいつでもご連絡ください。

また、オンラインで家庭教師も可能です。

詳しくは下記の問い合わせフォームからご連絡ください。

いつでもお待ちしております。

お問い合わせフォーム

https://forms.gle/2RVgwcMPcL5YxWbV7

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